11662. В треугольнике ABC
высота BH
проходит через середину медианы AM
, точка K
— середина отрезка BM
. Докажите, что треугольник AKC
равнобедренный.
Решение. Опустим перпендикуляры KP
и MQ
на сторону AC
. Обозначим HP=x
. Тогда по теореме Фалеса
PQ=HP=x,~CQ=HQ=2x,~AH=HQ=2x.
Значит,
AP=AH+HP=3x~\mbox{и}~CP=PQ+CQ=3x,
т. е. высота KP
треугольника AKC
является его медианой. Следовательно, треугольник AKC
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 246, с. 34