11664. В трапеции ABCD
угол A
равен 60^{\circ}
. Точка E
на боковой стороне AB
такова, что треугольник CDE
равносторонний. Докажите, что AB=AD
.
Решение. Поскольку
\angle CBE+\angle CDE=\angle ABC+\angle CDE=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник BCDE
вписанный. Тогда по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу,
\angle ABD=\angle EBD=\angle ECD=60^{\circ}.
Два угла треугольника ABD
равны по 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний. Следовательно, AB=AD
.
Автор: Васильев М. Ю.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 281, с. 38