11672. На боковой стороне CD
трапеции ABCD
отмечена точка M
так, что \angle ABM=\angle CBD=\angle BCD=\alpha
. Найдите BM
, если AB=b
.
Ответ. 2b\cos\alpha
.
Решение. Поскольку
\angle BCM=\angle CBD-\angle DBM=\angle ABM-\angle DBM=\angle ABD
и \angle BAD=\angle CBD=\alpha
, треугольник BCM
подобен треугольнику BDA
по двум углам, а так как \angle CBD=\angle BCD
, то треугольник BCD
равнобедренный, CD=BD
. Значит, коэффициент подобия треугольников BCM
и BDA
равен
k=\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{CD}=2\cos\alpha.
Следовательно,
BM=kAB=2\cos\alpha\cdot b=2b\cos\alpha.
Автор: Шаповалов А. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 290, с. 39