11674. На стороне BC
параллелограмма ABCD
отмечена такая точка K
, что \angle BAK=\angle DAC
и KA=KD
. Найдите отношение BD:AB
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть угол A
острый. Опустим перпендикуляр BH
и KP
на сторону AD
. Поскольку KA=KD
, точка P
— середина стороны AD
.
Обозначим AB=a
, AD=2b
, BK=x
. Тогда
HP=BK=x,~AP=b,~AH=b-x,~DH=b+x.
Треугольники ABK
и ADC
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AB}{AD}=\frac{BK}{CD},~\mbox{или}~\frac{a}{2b}=\frac{x}{a},
откуда a^{2}=2bx
.
По теореме Пифагора
BD^{2}-DH^{2}=BA^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~BD^{2}-(b+x)^{2}=a^{2}-(b-x)^{2},
откуда
BD^{2}=a^{2}+4bx=a^{2}+2a^{2}=3a^{2},
а BD=a\sqrt{3}
. Следовательно,
\frac{BD}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 293, с. 39