11675. Точки P
и Q
— середины сторон соответственно BC
и AD
правильного шестиугольника ABCDEF
, отрезки AQ
и FP
пересекаются в точке T
. Найдите отношение AT:TQ
.
Ответ. 6:7
.
Решение. Пусть прямые FP
и CD
пересекаются в точке K
, прямые EF
и CD
— в точке L
, а сторона шестиугольника равна 2a
.
Треугольник DEL
равносторонний, поэтому
EL=ED=2a,~FL=4a,~CL=4a.
Поскольку BC\parallel FL
, треугольник KCP
подобен треугольнику LKF
, причём коэффициент подобия равен
\frac{CP}{FL}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}.
Значит,
\frac{1}{4}=\frac{KC}{KL}=\frac{KC}{KC+CL}=\frac{KC}{KC+4a},
откуда KC=\frac{4}{3}a
. Тогда
KQ=KC+CQ=\frac{4}{3}a+a=\frac{7}{3}a.
Поскольку KQ\parallel AF
, треугольники ATF
и QTK
подобны. Следовательно,
\frac{AT}{TQ}=\frac{AF}{KQ}=\frac{2a}{\frac{7}{3}a}=\frac{6}{7}.