11676. Внутри треугольника со сторонами a
, b
, c
отметили точку и провели через неё три отрезка, параллельные сторонам. Треугольник разбился на три трапеции с равными большими основаниями. Найдите это основание.
Ответ. \frac{2abc}{ab+ac+bc}
.
Решение. Пусть стороны BC
, AC
и AB
треугольника ABC
равны a
, b
и c
соответственно, O
— точка внутри треугольника, а прямые, проходящие через точку O
параллельно сторонам AB
, BC
и AC
, пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках E
, F
и D
соответственно. Обозначим через x
искомые большие основания AF
, CE
, BD
трапеций ADOF
, CEOF
, BDOE
и продолжим отрезок OF
до пересечения со стороной AB
в точке F_{1}
.
Треугольник DF_{1}O
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом
k=\frac{OF_{1}}{BC}=\frac{BE}{BC}=\frac{a-x}{a},
поэтому
DF_{1}=AB\cdot k=c\cdot\frac{a-x}{a},~OD=AC\cdot k=b\cdot\frac{a-x}{a}
Первый способ. Аналогично получим, что OE=c\cdot\frac{b-x}{b}
. Тогда
DF_{1}=DB-F_{1}B=DB-OE=x-c\cdot\frac{b-x}{b}.
Из равенства
c\cdot\frac{a-x}{a}=x-c\cdot\frac{b-x}{b}
находим, что
x=\frac{2abc}{ab+ac+bc}.
Второй способ. Пусть S_{\triangle ABC}=1
. Тогда
S_{ADOF}=S_{\triangle AF_{1}F}-S_{\triangle DF_{1}O}=\left(\frac{AF}{AC}\right)^{2}-\left(\frac{OF_{1}}{BC}\right)^{2}=
=\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{(a-x)^{2}}{a^{2}}=\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{2x}{a}-1.
Аналогично,
S_{BEOD}=\frac{x^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{2x}{b}-1,~S_{CFOE}=\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{c^{2}}+\frac{2x}{c}-1.
Сложив эти три равенства, получим, что
1=2x\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3,
откуда
x=\frac{2abc}{ab+ac+bc}.
Автор: Шаповалов А. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 295, с. 39