11679. На стороне CD
квадрата ABCD
взяли произвольную точку M
, а на продолжении стороны AD
— точку K
. Оказалось, что \angle BMK=45^{\circ}
. Докажите, что AK=CM
.
Указание. На продолжении стороны AD
за точку A
отложите отрезок AK'=CM
. С помощью поворота на 90^{\circ}
вокруг вершины B
докажите, что точка K'
совпадает с K
.
Решение. На продолжении стороны AD
за точку A
отложим отрезок AK'=CM
. При повороте вокруг точки B
на угол 90^{\circ}
, переводящем вершину C
в A
, треугольник BMC
переходит в треугольник BK'A
. Значит, треугольник BMK'
равнобедренный и прямоугольный с прямым углом при вершине B
. Тогда \angle BMK'=45^{\circ}
, поэтому точка K'
совпадает с K
. Следовательно, AK=AK'=CM
. Что и требовалось доказать.