11680. В квадрат ABCD
вписана окружность, которая касается сторон AB
и AD
в точках K
и M
соответственно. Прямая CK
повторно пересекает окружность в точке N
. Найдите угол BMN
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите поворот на 90^{\circ}
вокруг центра квадрата.
Решение. Пусть P
— точка пересечения отрезков BM
и CK
. При повороте вокруг центра O
квадрата, переводящем вершину A
в B
, точка M
переходит в K
, вершина B
— в C
, а отрезок MB
— в отрезок KC
. Значит, \angle MPC=90^{\circ}
.
Вписанный угол MNK
вдвое меньше центрального угла MOK
, значит,
\angle MNP=\angle MNK=\frac{1}{2}\angle MOK=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Следовательно,
\angle BMN=180^{\circ}-\angle MPC-\angle MNP=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 300, с. 40