11681. Высоты остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. На сторонах AC
и BC
отмечены соответственно точки K
и L
, причём AK=BH
и BL=AH
. Точка M
— середина отрезка KL
. Докажите, что угол AMB
прямой.
Указание. Пусть O
центр квадрата со стороной AB
, расположенного по ту же сторону от прямой AB
, что и точка C
. С помощью поворота на угол 90^{\circ}
вокруг точки O
докажите, что точка M
совпадает с O
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим квадрат со стороной AB
, расположенный по ту же сторону от прямой AB
, что и точка C
. Поскольку BH\perp AK
и BH=AK
, при повороте вокруг центра O
квадрата на угол 90^{\circ}
, переводящем вершину A
в B
, отрезок AK
переходит в отрезок BH
. Аналогично, при этом повороте отрезок AH
переходит в отрезок BL
. Значит, при повороте на угол 180^{\circ}
вокруг точки O
точка K
переходит в L
. Тогда O
— середина отрезка KL
. Следовательно, точка M
совпадает с O
, а так как \angle AOB=90^{\circ}
, то \angle AMB=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Треугольники AKH
и BHL
равны по двум сторонам и углу между ними. При этом соответственные стороны этих треугольников перпендикулярны: AH\perp BL
и AK\perp BH
. Значит, KH=HL
и KH\perp HL
, т. е. треугольник KHL
равнобедренный и прямоугольный. Тогда при повороте вокруг точки M
на 90^{\circ}
точка K
переходит в точку H
, а отрезок KA
— в перпендикулярный и равный ему отрезок HB
. Значит, точка A
при этом повороте переходит в точку B
. Следовательно, \angle AMB=90^{\circ}
.