11683. В окружность радиуса 1 вписан правильный десятиугольник A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}A_{8}A_{9}A_{10}
. Найдите расстояние между прямыми A_{1}A_{5}
и A_{2}A_{4}
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Вписанные углы A_{4}A_{1}A_{5}
и A_{5}A_{1}A_{6}
опираются на равные дуги, поэтому A_{1}A_{5}
— биссектриса угла A_{4}A_{1}A_{5}
. Значит, при симметрии относительно прямой A_{1}A_{5}
точка A_{4}
перейдёт в точку B
, лежащую на отрезке A_{1}A_{6}
, т. е. на диаметре окружности.
Пусть O
— центр окружности. Тогда OA_{3}\perp A_{2}A_{4}
, так как точка A_{3}
— середина меньшей дуги A_{2}A_{4}
. Значит, OA_{3}\parallel BA_{4}
. Кроме того, A_{3}A_{4}\parallel A_{1}A_{6}
, так как равны меньшие дуги A_{1}A_{3}
и A_{4}A_{6}
. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника BOA_{3}A_{4}
попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда BA_{4}=OA_{3}=1
.
Из равенства меньших дуг A_{1}A_{2}
и A_{4}A_{5}
следует параллельность хорд A_{1}A_{5}
и A_{2}A_{4}
, а так как BA_{4}\perp A_{1}A_{5}
, то расстояние между прямыми A_{1}A_{5}
и A_{2}A_{4}
равно половине отрезка BA_{4}
, т. е. \frac{1}{2}
.