11685. На стороне AC
треугольника ABC
отмечена точка D
так, что AD=AB
; на стороне AB
отмечена точка F
так, что середина отрезка CF
лежит на BD
. Докажите, что BF=CD
.
Ответ. 5:2
.
Решение. Первый способ. Через точку C
проведём прямую параллельную стороне AB
(рис. 1). Пусть эта прямая пересекается с прямой BD
в точке K
, а M
— середина отрезка CF
. Тогда треугольники CMK
и FMB
равны по стороне (CM=MD
) и двум прилежащим к ней углам. Значит, CK=BF
, а так как треугольник ABD
равнобедренный, то
\angle CKD=\angle ABD=\angle ADB=\angle CKD.
Следовательно, треугольник CDK
также равнобедренный, и CD=CK=BF
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. На продолжении луча AB
возьмём точку E
, для которой EC\parallel BD
(рис. 2). Тогда треугольник AEC
равнобедренный, AE=AC
, откуда BE=CD
. Заметим также, что прямая BD
содержит среднюю линию треугольника EFC
, откуда BF=BE
, т. е. BF=CD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Мазаник С. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 226, с. 51