11687. Точка B
лежит на отрезке AC
. По одну сторону от прямой AC
построены равносторонние треугольники ABE
и BCF
. Во сколько раз медиана BM
треугольника BEF
меньше суммы CE+AF
?
Ответ. В четыре раза.
Решение. Продолжим AE
и CF
до пересечения в точке G
. В треугольнике AGC
все углы равны по 60^{\circ}
, поэтому он равносторонний; BEGF
— параллелограмм и BG=2BM
. Значит,
GF=GC-FC=AC-BC=AB.
Из равенства треугольников EAC
, FGA
, BAG
по двум сторонам и углу между ними следует, что AF=CE=BG
. Поэтому
CE+AF=2BG=4BM.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 229, с. 51