11688. На листе клетчатой бумаги по сторонам клеток нарисован квадрат ABCD
со стороной 8. Точка E
— середина стороны BC
, Q
— такая точка на диагонали AC
, что AQ:QC=3:1
. Найдите угол между прямыми AE
и DQ
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Заметим, что точка Q
лежит в узле сетки.
Отметим на сторонах AD
и BC
данного квадрата такие точки M
и N
соответственно, что AM:MD=BN:NC=3:1
. Пусть точка P
, лежащая внутри квадрата, — вершина квадрата со стороной MD
и диагональю DP
. Отрезки QE
и DP
равны и параллельны, значит, DQEP
— параллелограмм. Тогда PE\parallel DQ
, и угол между прямыми AE
и DQ
равен углу между прямыми AE
и PE
, т. е. углу AEP
.
Прямоугольные треугольники AMP
и PNE
равны по двум катетам, поэтому AP=PE
и \angle PAM=\angle EPN
. Тогда
\angle APE=\angle APQ+\angle QPE=\angle PAM+\angle QPE=
=\angle EPN+\angle QPE=\angle QPN=90^{\circ}.
Значит, треугольник APE
равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, \angle AEP=45^{\circ}
.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 230, с. 52