11690. Четырёхугольник ABCD
выпуклый, \angle BCD=120^{\circ}
, \angle CBA=45^{\circ}
, \angle CBD=15^{\circ}
и \angle CAB=90^{\circ}
. Найдите угол BAD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Треугольник BAC
равнобедренный прямоугольный, поэтому
\angle ACD=\angle BCD-\angle BCA=120^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.
От луча AC
в полуплоскость, содержащую точку D
, отложим луч AE
под углом 30^{\circ}
к лучу AC
(рис. 1). Пусть точка E
лежит на прямой CD
. Тогда
\angle CAE=180^{\circ}-\angle CAE-\angle ACE=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ},
значит, треугольник CAE
равнобедренный, AE=AC=AB
. Тогда треугольник BAE
тоже равнобедренный с углом 90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
при вершине A
, поэтому
\angle ABE=\angle AEB=30^{\circ},
\angle CBE=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}=\angle CBD.
Следовательно, точка E
совпадает с D
, и
\angle BAD=\angle BAE=120^{\circ}.
Второй способ. Рассмотрим окружность с центром O
, описанную около треугольника BCD
(рис. 2). На меньшую дугу BC
опирается вписанный угол CDB
, равный
180^{\circ}-120^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ},
поэтому центральный угол BOC
равен 90^{\circ}
. Значит, отрезок BC
— основание равнобедренных прямоугольных треугольников BAC
и BOC
. Следовательно, точки A
и O
совпадают, и
\angle BAD=2(180^{\circ}-\angle BCD)=120^{\circ}.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 236, с. 52