11691. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AL
и BN
. На луче AL
взята точка P
так, что PN=PB
, а на луче BN
— точка Q
так, что QL=QA
. Докажите, что QL\parallel PN
.
Решение. Треугольники ABP
и ANP
имеют общую сторону AP
, ещё пару равных сторон PB
и PN
и равные углы при вершине A
, противолежащие этим сторонам. Но они не равны, так как AN\lt AB
(поскольку из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что \angle ANB\gt\angle CBN=\angle ABN
). Значит,
\angle ABP+\angle ANP=180^{\circ}
по «четвёртому признаку» равенства треугольников (см. задачу 10280). Значит, четырёхугольник ANPB
вписанный. Аналогично, четырёхугольник AQLB
тоже вписанный, поэтому
\angle ALQ=\angle ABQ=\angle ABN=\angle APN.
Следовательно, QL\parallel PN
.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 237, с. 52