11694. В прямоугольнике ABCD
соединили вершину C
с серединой K
стороны AD
. Оказалось, что CK\perp BD
. Пусть H
— точка пересечения BD
и CK
. Докажите, что треугольник AHB
равнобедренный.
Решение. Углы ABD
и BCK
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из точек A
и H
отрезок BK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BK
. Тогда
\angle AHB=\angle AKB=\angle CKD=\angle BCK=\angle ABD
(\angle AKB=\angle CKD
из равенства прямоугольных треугольников AKB
и DKC
). Следовательно, треугольник AHB
равнобедренный, AB=AH
.