11697. На сторонах AB
, BC
, CD
и AD
квадрата ABCD
выбраны соответственно точки P
, M
, N
, Q
так, что \angle MAN=45^{\circ}
, PM\parallel AN
, AM\parallel NQ
.
а) Докажите, что точки A
, P
, M
, N
, Q
лежат на одной окружности.
б) Отрезок PQ
пересекает AM
и AN
в точках F
и G
соответственно. Докажите равенство
S_{\triangle AFG}=S_{\triangle PMF}+S_{\triangle GNQ}.
Решение. а) Заметим, что
\angle BAM+\angle DAN=90^{\circ}-\angle MAN=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},
Рассмотрим точку E
, симметричную точке B
относительно прямой AM
. Поскольку AE=AB=AD
и
\angle EAN=45^{\circ}-\angle EAM=45^{\circ}-\angle BAM=\angle DAN,
точка E
симметрична точке D
относительно прямой AN
, а так как
\angle MEA+\angle NEA=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ},
точка E
лежит на отрезке MN
.
Поскольку
\angle AMN=\angle AME=\angle AMB=90^{\circ}-\angle BAM=\angle MAQ,
четырёхугольник AQNM
— равнобедренная трапеция (AQ=MN
). Это вписанный четырёхугольник, поэтому точка Q
лежит на описанной окружности треугольника AMN
. Аналогично доказывается, что на этой же окружности лежит и точка P
.
б) Добавив к обеим частям равенства
S_{\triangle AFG}=S_{\triangle PMF}+S_{\triangle GNQ}
сумму S_{\triangle PAF}+S_{\triangle GAQ}
, получаем, что нужно доказать равенство
S_{\triangle APQ}=S_{\triangle PMA}+S_{\triangle ANQ}.
В п. а) доказано, что AP=MN=AQ
и отрезок AE
симметричен AB
и AD
относительно прямых AM
и AN
соответственно. Поэтому точка H
, симметричная точке P
относительно прямой AM
, симметрична также точке Q
относительно прямой AN
и лежит на AE
. В п. а) доказано, что AE\perp MN
, поэтому диагонали четырёхугольника AMHN
перпендикулярны. Значит,
S_{\triangle PMA}+S_{\triangle ANQ}=S_{\triangle HMA}+S_{\triangle ANH}=
=S_{AMHN}=\frac{1}{1}AH\cdot MN=\frac{1}{2}AP\cdot AQ=S_{\triangle APQ}.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 243, с. 53