1170. Прямая пересекает боковую сторону AC
, основание BC
и продолжение боковой стороны AB
равнобедренного треугольника ABC
за точку B
в точках K
, L
и M
соответственно. При этом треугольники CKL
и BML
также равнобедренные. Найдите их углы.
Ответ. 36^{\circ}
, 36^{\circ}
, 108^{\circ}
и 72^{\circ}
, 72^{\circ}
, 36^{\circ}
.
Указание. Докажите, что CK
и ML
— основания равнобедренных треугольников CKL
и BML
и воспользуйтесь теоремой о сумме внутренних углов треугольника.
Решение. Заметим, что \angle KLC\neq\angle KCL
, так как в противном случае KL\parallel AB
, а значит, прямая KL
не пересекает прямую AB
, что противоречит условию. Следовательно, \angle LKC=\angle KCL
.
Обозначим \angle ACB=\angle ABC=\alpha
. Тогда
\angle LKC=\angle KCL=\alpha,~\angle BLM=\angle KLC=180^{\circ}-2\alpha.
Поскольку \angle MBL=180^{\circ}-\alpha
, то в равнобедренном треугольнике MBL
основанием является ML
, значит, по теореме о внешнем угле треугольника 2\angle BLM=\angle ABC
, или 2(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha
, откуда находим, что \alpha=72^{\circ}
.