11700. В остроугольном треугольнике ABC
угол B
равен 60^{\circ}
, H
— ортоцентр. Описанная окружность треугольника AHB
вторично пересекает прямую BC
в точке A_{1}
, а описанная окружность треугольника BHC
вторично пересекает прямую AB
в точке C_{1}
. Докажите, что точки H
, A_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Достаточно доказать, что \angle A_{1}HB=\angle C_{1}HB
. Пусть \angle A=\alpha
, \angle C=\gamma
. Тогда
\angle AHB=180^{\circ}-\gamma,~\angle CHB=180^{\circ}-\alpha.
Если \alpha=\gamma
, утверждение очевидно. Будем считать, что \alpha\lt60^{\circ}\lt\gamma
. Тогда точка A_{1}
лежит на стороне BC
, а точка C_{1}
— на продолжении стороны AB
за точку B
.
Четырёхугольник ABA_{1}H
вписанный, следовательно,
\angle AHA_{1}=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ},
значит,
\angle A_{1}HB=120^{\circ}-(180^{\circ}-\gamma)=\gamma-60^{\circ}.
Аналогично,
\angle C_{1}HB=\angle CHB-\angle CHC_{1}=\angle CHB-\angle CBC_{1}=
=(180^{\circ}-\alpha)-120^{\circ}=60^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha,
а так как \alpha+\gamma=120^{\circ}
, получаем, что \gamma-60^{\circ}=60^{\circ}-\alpha
. Что и требовалось.