11701. В треугольнике ABC
угол B
равен 60^{\circ}
, O
— центр описанной окружности, H
— ортоцентр, BM
— медиана, L
— середина OB
. Докажите, что LM\perp OH
.
Решение. Проведём в треугольнике ABC
высоты AD
и CE
. Треугольник BCE
прямоугольный с углом 30^{\circ}
, поэтому BE=\frac{1}{2}BC
. Аналогично BD=\frac{1}{2}AB
. Следовательно, треугольник DBE
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, а диаметр BH
его описанной окружности равен радиусу OB
описанной окружности \Omega
треугольника ABC
.
Пусть F
— середина меньшей дуги AC
окружности \Omega
. Отрезки BH
и OF
равны и оба перпендикулярны AC
, поэтому OBHF
— параллелограмм, а так как OF=OB
, то это ромб, и его диагонали BF
и OH
перпендикулярны.
Точки F
и O
симметричны относительно прямой AC
(поскольку \angle AOC=120^{\circ}=\angle AFC
), поэтому M
— середина OF
. Тогда LM
— средняя линия треугольника BOF
, она параллельна BF
и тоже перпендикулярна OH
. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 249, с. 54