11704. В равнобедренном треугольнике ABC
(AC=BC
) проведена биссектриса AD
. На основании отмечена такая точка E
, что AE=BD
, на стороне AC
—такая точка F
, что AF=AB
. Докажите, что точка пересечения отрезков AD
и EF
лежит на высоте треугольника ABC
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения AD
и EF
. Точка F
симметрична точке B
относительно биссектрисы AD
, поэтому
FD=BD=AE~\mbox{и}~\angle AFD=\angle ABD=\angle FAE.
Треугольники AFD
и FAE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle AFH=\angle AFE=\angle DAF=\angle HAF.
Тогда треугольник AHF
равнобедренный, AH=FH
. Симметричный ему относительно биссектрисы AD
треугольник AHB
тоже равнобедренный, AH=BH
. Следовательно, точка H
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
, а значит, на высоте треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 255, с. 55