11705. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
), касается сторон AB
, BC
и AC
в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
соответственно; B_{1}D
— диаметр вписанной окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки A_{1}
на прямую AC
, вторично пересекает вписанную окружность в точке P
. Докажите, что середина отрезка DP
лежит на биссектрисе треугольника ABC
.
Решение. Биссектриса BB_{1}
— ось симметрии равнобедренного треугольника, поэтому A_{1}C_{1}\parallel AC
. Тогда \angle C_{1}A_{1}P=90^{\circ}
, значит, C_{1}P
— диаметр вписанной окружности.
Пусть I
— центр окружности. Точки B_{1}
и C_{1}
, а также окружность, симметричны относительно биссектрисы AI
угла A
, поэтому и диаметры B_{1}D
и C_{1}P
симметричны относительно AI
. Но тогда точки D
и P
симметричны относительно AI
. Следовательно, ось симметрии AI
пересекает отрезок DP
в его середине. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 256, с. 55