11708. На окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника ABC
, взята точка P
. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
симметричны точке P
относительно середин сторон BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Докажите, что описанная окружность треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
проходит через центр треугольника ABC
.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
, а O_{1}
— точка, симметричная точке P
относительно центра O
треугольника ABC
. Тогда OK
— средняя линия треугольника O_{1}PA_{1}
, значит,
O_{1}A_{1}=2OK=OA=OO_{1}.
Аналогично
O_{1}B_{1}=O_{1}C_{1}=OO_{1}.
Следовательно, точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и O
лежат на окружности радиуса OO_{1}
с центром O_{1}
.