1171. Равные отрезки AB
и CD
пересекаются в точке O
и делятся ею в отношении AO:OB=CO:OD=1:2
. Прямые AD
и BC
пересекаются в точке M
. Докажите, что треугольник DMB
— равнобедренный.
Указание. \angle MDB=\angle MBD
как суммы соответственно равных углов.
Решение. Поскольку
DO=\frac{2}{3}DC=\frac{2}{3}AB=BO,
то треугольник BOD
— равнобедренный, поэтому \angle OBD=\angle ODB
. Треугольники AOD
и COB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle CBO=\angle ADO
. Значит,
\angle MDB=\angle ADB=\angle ADO+\angle ODB=\angle CBO+\angle OBD=\angle CBD=\angle MBD.
Следовательно, треугольник DMB
— равнобедренный.