11710. В треугольнике ABC
угол B
равен 50^{\circ}
, угол C
равен 30^{\circ}
. Внутри треугольника выбрана точка M
так, что \angle MBC=20^{\circ}
, \angle MCB=10^{\circ}
. Докажите, что AM\perp BC
.
Решение. Пусть A'
— точка, симметричная точке A
относительно прямой BC
. В равнобедренном треугольнике A'AC
угол ACA'
равен 60^{\circ}
, поэтому треугольник A'AC
равносторонний. Отметим на отрезке AA'
такую точку M'
внутри треугольника ABC
, что \angle M'BC=20^{\circ}
. Отметим на продолжении отрезка AB
за точку B
такую точку D
, для которой A'D=A'A=A'C
. Тогда
\angle A'BM'=\angle A'BC+\angle CBM'=50^{\circ}+20^{\circ}=70^{\circ},
\angle A'M'B=\angle A'AB+\angle ABM'=40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ}.
Значит, треугольник A'BM'
равнобедренный, A'B=A'M'
. Кроме того, из равнобедренных треугольников ABA'
и ADA'
находим, что
\angle ABA'=100^{\circ},~\angle AA'B=\angle BAA'=\angle ADA'=40,~\angle AA'D=100^{\circ}.
Поэтому
\angle BA'D=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}=\angle M'A'C,
откуда следует равенство треугольников A'BD
и A'CM'
по двум сторонам и углу между ними. А это уже значит, что
\angle M'CB=\angle M'CA-\angle BCA=\angle ADB-\angle BCA=40^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}.
Следовательно, точка M'
, лежащая на прямой AA'
, перпендикулярной BC
, совпадает с M
, т. е. AM\perp BC
. Что и требовалось доказать.