11711. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников BA_{1}B_{1}
и BC_{1}B_{1}
, вторично пересекают прямую AC
в точках K
и L
.
а) Докажите, что B_{1}K=B_{1}L
.
б) Докажите, что IK=IL
Решение. При симметрии относительно серединного перпендикуляра CI
к отрезку A_{1}B_{1}
, описанная окружность треугольника BA_{1}B_{1}
переходит в себя, луч CB
— в луч CK
, значит, точка B
переходит в K
.
а) Точки B_{1}
и A_{1}
также симметричны относительно прямой CI
, поэтому симметричны отрезки B_{1}K
и A_{1}B
. Значит, B_{1}K=A_{1}B
. Аналогично, B_{1}L=C_{1}B
. Отрезки A_{1}B
и C_{1}B
равны как касательные, проведённые к вписанной окружности треугольника ABC
из точки B
. Следовательно,
B_{1}K=A_{1}B=C_{1}B=B_{1}L.
б) Из симметрии IK=IB
и IL=IB
. Следовательно, IK=IL
.
Примечание. Можно также вывести б) из а) с помощью теоремы Пифагора:
IK^{2}=B_{1}I^{2}+B_{1}K^{2}=B_{1}I^{2}+B_{1}L^{2}=IL^{2}.