11715. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки, равные x
и y
. Найдите площадь треугольника и диаметр окружности.
Ответ. S=xy
, 2r=-2(x+y)+2\sqrt{x^{2}+y^{2}+6xy}
.
Решение. Пусть радиус вписанной окружности данного треугольника, его площадь и полупериметр равны r
, S
и p
соответственно. Тогда
S=pr=(r+x+y)r=r^{2}+r(x+y),
S=\frac{1}{2}(r+x)(r+y)=\frac{1}{2}(r^{2}+r(x+y)+xy),
поэтому
2(r^{2}+r(x+y))=r^{2}+r(x+y)+xy,~\mbox{или}~r^{2}+r(x+y)r-xy=0,
откуда
r=-(x+y)+\sqrt{(x+y)^{2}+4xy}=-(x+y)+\sqrt{x^{2}+y^{2}+6xy}.
Следовательно,
2r=-2(x+y)+2\sqrt{x^{2}+y^{2}+6xy},
а также
S=\frac{1}{2}(r^{2}+r(x+y)+xy)=\frac{1}{2}(r^{2}+r(x+y)-xy+2xy)=\frac{1}{2}(0+2xy)=xy.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 1 задача 5 (1984, с. 41), с. 7
Источник: Математические олимпиады США. — 1980