11719. Биссектрисы треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Серединный перпендикуляр к отрезку AI
пересекает сторону AB
в точке A_{1}
, а серединный перпендикуляр к отрезку CI
пересекает сторону CB
в точке C_{1}
. Докажите, что точки A_{1}
, I
и C_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Точка A_{1}
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AI
, поэтому треугольник AA_{1}I
равнобедренный. Следовательно,
\angle A_{1}IA=\angle A_{1}AI=\angle IAC,
поэтому A_{1}I\parallel AC
. Аналогично C_{1}I\parallel AC
. Через точку I
проходит единственная прямая, параллельная AC
, и на ней лежат точки A_{1}
, I
, C_{1}
.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 162, с. 42