11721. Точка E
— середина стороны BC
квадрата ABCD
, G
— такая точка на стороне CD
, что CG:DG=3:1
, M
— середина отрезка AE
. Найдите \angle BMG
.
Решение. Пусть K
, L
и N
— середины отрезков BE
, CD
и CL
соответственно. Тогда прямоугольные треугольники EMK
и NCK
равны по двум катетам, поэтому
\angle KEM=\angle CNE=90^{\circ}-\angle CEN.
Значит,
\angle MEN=180^{\circ}-(\angle KEM+\angle CEN)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
и треугольник MEN
равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, \angle EMN=45^{\circ}
.
Заметим, что
\angle GML=\angle NML~\mbox{и}~\angle BMK=\angle EMK,
а так как \angle KML=90^{\circ}
, то
\angle NML+\angle KME=90^{\circ}-\angle EMN=45^{\circ}.
Следовательно,
\angle BMG=\angle GMN+\angle BME+\angle EMN=
=2(\angle NML+\angle KME)+\angle EMN=2\cdot45^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 166, с. 43