11722. На сторонах AB
и BC
равностороннего треугольника ABC
взяты точки D
и E
так, что \angle ACD=\angle BAE=17^{\circ}
. Отрезки CD
и AE
пересекаются в точке O
. Серединный перпендикуляр к отрезку CO
пересекает прямую AO
в точке K
. Докажите, что прямые BK
и CO
параллельны.
Решение. Поскольку
\angle BCD=\angle OAC=60^{\circ}-17^{\circ}=43^{\circ},
треугольники BCD
и CAE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Соединим точку K
с точками B
и C
. В равнобедренном треугольнике KOC
известно, что
\angle KOC=\angle OAC+\angle OCA=60^{\circ},
значит, треугольник KOC
равносторонний. Отсюда
KC=OC,~\angle KCB=60^{\circ}-43^{\circ}=17^{\circ}=\angle ACD.
Но тогда треугольники BCK
и ACO
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle KBC=\angle OAC=43^{\circ}=\angle BCD,
поэтому KB\parallel CD
.
Примечание. 1. Равенство треугольников BCK
и ACO
следует из того, что эти треугольники получаются друг из друга поворотом на 60^{\circ}
вокруг точки C
.
2. То, что углы ACD
и BAE
равны именно 17^{\circ}
, несущественно. Доказательство проходит для любых равных между собой углов.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 167, с. 43