11723. В треугольнике
ABC
известно, что
\angle C=90^{\circ}
,
\angle A=30^{\circ}
. На катетах
AC
и
BC
отмечают соответственно точки
E
и
D
так, что
\angle ABE=40^{\circ}
,
\angle BAD=20^{\circ}
. Найдите углы треугольника
ECD
.
Ответ.
40^{\circ}
,
50^{\circ}
,
90^{\circ}
.
Решение. Пусть
AD
и
BE
пересекаются в точке
K
,
I
— точка пересечения биссектрис треугольника
ABK
. Тогда
\angle AKB=180^{\circ}-40^{\circ}-20^{\circ}=120^{\circ},

а так как
KI
— биссектриса угла
AKB
, то
\angle BKI=60^{\circ}=\angle BKD.

Кроме того,
\angle IBK=\angle DBK=20^{\circ},

поэтому треугольники
KIB
и
KDB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. По той же причине равны треугольники
KIA
и
KEA
. Значит,
KE=KI=KD,

поэтому треугольник
KDE
равнобедренный, и
\angle KED=\angle KDE=\frac{1}{2}\angle BKD=30^{\circ}.

Следовательно,
\angle CDE=\angle DBE+\angle DEB=50^{\circ},~\angle CED=40^{\circ}.

Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 168, с. 43