11723. В треугольнике ABC
известно, что \angle C=90^{\circ}
, \angle A=30^{\circ}
. На катетах AC
и BC
отмечают соответственно точки E
и D
так, что \angle ABE=40^{\circ}
, \angle BAD=20^{\circ}
. Найдите углы треугольника ECD
.
Ответ. 40^{\circ}
, 50^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Решение. Пусть AD
и BE
пересекаются в точке K
, I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABK
. Тогда
\angle AKB=180^{\circ}-40^{\circ}-20^{\circ}=120^{\circ},
а так как KI
— биссектриса угла AKB
, то
\angle BKI=60^{\circ}=\angle BKD.
Кроме того,
\angle IBK=\angle DBK=20^{\circ},
поэтому треугольники KIB
и KDB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. По той же причине равны треугольники KIA
и KEA
. Значит,
KE=KI=KD,
поэтому треугольник KDE
равнобедренный, и
\angle KED=\angle KDE=\frac{1}{2}\angle BKD=30^{\circ}.
Следовательно,
\angle CDE=\angle DBE+\angle DEB=50^{\circ},~\angle CED=40^{\circ}.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 168, с. 43