11725. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
, касается катетов AB
и BC
в точках C_{1}
и A_{1}
соответственно. Окружность, описанная вокруг треугольника C_{1}BA_{1}
, проходит через середину медианы BM
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 90^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Решение. Пусть K
— середина медианы BM
, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, B_{1}
— точка касания этой окружности со стороной AC
. Без ограничения общности можно считать, что M
лежит на отрезке CB_{1}
.
Поскольку BA_{1}IC_{1}
— квадрат, отрезок BI
— диаметр описанной окружности треугольника C_{1}BA_{1}
. Тогда \angle IKB=90^{\circ}
, поэтому треугольник IMB
равнобедренный, так как его высота IK
является медианой.
Прямоугольные треугольники IMB_{1}
и IBA_{1}
равны по катету и гипотенузе, поэтому MB_{1}=A_{1}B
. Кроме того, равны отрезки касательных AB_{1}=AC_{1}
. Следовательно,
AB=AC_{1}+C_{1}B=AB_{1}+B_{1}M=AM=\frac{1}{2}AC,
т. е. в треугольнике ABC
гипотенуза вдвое больше катета. Следовательно, \angle C=30^{\circ}
, а \angle A=60^{\circ}
.
Примечание. Было бы некорректно рассматривать угол IKB
, если точка I
лежит на BM
. Однако последнее невозможно. Действительно, тогда бы прямые BB_{1}
и BM
совпали. Значит, точка I
совпала бы с K
, а B_{1}
— с M
. Но тогда
IA_{1}=IB_{1}=KM=KB=IB.
Противоречие.