11728. На сторонах AD
и CD
квадрата ABCD
выбираются соответственно точки Q
и P
так, что \angle ABQ=15^{\circ}
, \angle PQD=30^{\circ}
. Найдите \angle QBP
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Проведём высоту BH
треугольника BQP
. Треугольники BAQ
и BHQ
равны по гипотенузе и острому углу в 75^{\circ}
, поэтому BH=AB=BC
. Значит, треугольники BCP
и BHP
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,
\angle QBP=\angle QBH+\angle PBH=\frac{1}{2}\angle ABH+\frac{1}{2}\angle CBH=\frac{1}{2}\angle ABC=45^{\circ}.