11729. В четырёхугольнике
ABCD
известно, что
\angle A=85^{\circ}
,
\angle B=115^{\circ}
,
AD=BC
. Серединные перпендикуляры к сторонам
AB
и
CD
пересекаются в точке
M
. Найдите
\angle MAB
.
Ответ.
80^{\circ}
.
Решение. По свойству серединного перпендикуляра (см. задачу 1129)
MA=MB
,
MC=MD
, поэтому треугольники
AMD
и
BMC
равны по трём сторонам, и
\angle MAD=\angle MBC
.
Обозначим
\angle MAB=\angle MBA=\alpha
(заметим, что угол
\alpha
острый как угол при основании равнобедренного треугольника). Заметим ещё, что точки
C
и
D
лежат по одну сторону прямой
AB
. Для расположения точки
M
есть два случая.
1) Точки
M
,
C
и
D
лежат по одну сторону от прямой
AB
. Тогда
\angle MBC=115^{\circ}-\alpha
. Угол
MAD
равен разности (в том или ином порядке) углов
MAB
и
DAB
, т. е.
\pm(\alpha-85^{\circ})
. Но равенство
85^{\circ}-\alpha=115^{\circ}-\alpha
невозможно, а из равенства
115^{\circ}-\alpha=\alpha-85^{\circ}
следует, что
\alpha=100^{\circ}
; это противоречит тому, что
\alpha\lt90^{\circ}
. Значит, такое расположение точки
M
невозможно.
2) Точки
M
и
C
лежат по разные стороны прямой
AB
. Тогда
\angle MAD=\alpha+85^{\circ}
. Угол
MBC
не может равняться
\alpha+115^{\circ}
— тогда он не будет равен углу
MAD
. Значит, объединение углов
MBA
и
ABC
дополняет угол
MBC
до
360^{\circ}
, т. е.
\angle MBC=360^{\circ}-(\alpha+115^{\circ})=245^{\circ}-\alpha.

Из равенства
85^{\circ}+\alpha=245^{\circ}-\alpha
получим, что
\alpha=80^{\circ}
. Этот единственно возможный случай изображён на рис. 2.
Случай
\angle MAD=360^{\circ}-(\alpha+85^{\circ})
рассматривать не надо, так как
\alpha+85^{\circ}\lt180^{\circ}
.
Примечание. Суть задачи в вопросе «Как такое может быть?». Как только поймёшь и обоснуешь чертёж, ответ можно без труда найти многими способами.
Автор: Шаповалов А. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 175, с. 44