11729. В четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle A=85^{\circ}
, \angle B=115^{\circ}
, AD=BC
. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и CD
пересекаются в точке M
. Найдите \angle MAB
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Решение. По свойству серединного перпендикуляра (см. задачу 1129) MA=MB
, MC=MD
, поэтому треугольники AMD
и BMC
равны по трём сторонам, и \angle MAD=\angle MBC
.
Обозначим \angle MAB=\angle MBA=\alpha
(заметим, что угол \alpha
острый как угол при основании равнобедренного треугольника). Заметим ещё, что точки C
и D
лежат по одну сторону прямой AB
. Для расположения точки M
есть два случая.
1) Точки M
, C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
. Тогда \angle MBC=115^{\circ}-\alpha
. Угол MAD
равен разности (в том или ином порядке) углов MAB
и DAB
, т. е. \pm(\alpha-85^{\circ})
. Но равенство 85^{\circ}-\alpha=115^{\circ}-\alpha
невозможно, а из равенства 115^{\circ}-\alpha=\alpha-85^{\circ}
следует, что \alpha=100^{\circ}
; это противоречит тому, что \alpha\lt90^{\circ}
. Значит, такое расположение точки M
невозможно.
2) Точки M
и C
лежат по разные стороны прямой AB
. Тогда \angle MAD=\alpha+85^{\circ}
. Угол MBC
не может равняться \alpha+115^{\circ}
— тогда он не будет равен углу MAD
. Значит, объединение углов MBA
и ABC
дополняет угол MBC
до 360^{\circ}
, т. е.
\angle MBC=360^{\circ}-(\alpha+115^{\circ})=245^{\circ}-\alpha.
Из равенства 85^{\circ}+\alpha=245^{\circ}-\alpha
получим, что \alpha=80^{\circ}
. Этот единственно возможный случай изображён на рис. 2.
Случай \angle MAD=360^{\circ}-(\alpha+85^{\circ})
рассматривать не надо, так как \alpha+85^{\circ}\lt180^{\circ}
.
Примечание. Суть задачи в вопросе «Как такое может быть?». Как только поймёшь и обоснуешь чертёж, ответ можно без труда найти многими способами.
Автор: Шаповалов А. В.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 175, с. 44