11734. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
(угол C
прямой). Вписанная в него окружность с центром I
касается стороны BC
в точке E
. Биссектриса угла A
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
. Докажите, что IE=ED
.
Решение. Из точки C
сторона AB
видна под прямым углом, значит, AB
— диаметр окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда \angle BDI=\angle BDA=90^{\circ}
.
Из точек E
и D
отрезок BI
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BI
, т. е. четырёхугольник BIED
вписанный. Отсюда
\angle IDE=\angle IBE=\angle IAC=\angle DIE
(последнее — так как IE\parallel AC
). Поэтому треугольник EID
равнобедренный, IE=ID
.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 180, с. 45