11736. Дан равнобедренный треугольник ABC
с углами 40^{\circ}
при основании BC
. На продолжении стороны AB
за точку B
отмечена точка D
, причём AD=BC
. Докажите, что \angle BCD=10^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BCD=\theta
. Тогда
0^{\circ}\lt\theta\lt\angle ABC\lt40^{\circ}.
Положим AB=1
. Тогда
AD=BC=2AB\cos40^{\circ}=2\sin50^{\circ}.
По теореме синусов
\frac{AD}{\sin(40^{\circ}+\theta)}=\frac{1}{\sin(40^{\circ}-\theta)}~\Rightarrow~2\sin50^{\circ}\sin(40^{\circ}-\theta)=\sin(40^{\circ}+\theta).
На промежутке (0^{\circ};40^{\circ})
правая часть полученного уравнения возрастает, а левая — убывает, значит, уравнение не может иметь более одного решения, а так как \theta=10^{\circ}
удовлетворяет этому уравнению, то \theta=10^{\circ}
— его единственное решение.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 1 задача 5 (1984, с. 41), с. 7
Источник: Математические олимпиады США. — 1979