11737. Найдите углы треугольника, если известно, что при пересечении его биссектрис образуются углы в 50^{\circ}
, 60^{\circ}
и 70^{\circ}
.
Ответ. 40^{\circ}
, 60^{\circ}
, 80^{\circ}
.
Решение. Пусть биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
, причём
\angle AIC_{1}=\angle CIA_{1}=50^{\circ},~\angle AIB_{1}=\angle BIA_{1}=60^{\circ},~\angle BIC_{1}=\angle CIB_{1}=70^{\circ}.
Тогда
\angle BIC=\angle BIA_{1}+\angle CIA_{1}=60^{\circ}+50^{\circ}=110^{\circ}.
Известно, что \angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC
(см. задачу 4770). Следовательно,
\angle BAC=2(\angle BIC-90^{\circ})=2(110^{\circ}-90^{\circ})=40^{\circ}.
Аналогично находим, что \angle ABC=80^{\circ}
и \angle ACB=60^{\circ}
.