11739. Докажите, что трапеция ABCD
является описанной тогда и только тогда, тогда отношение её оснований BC
и AD
равно \frac{\tg\frac{\angle A}{2}}{\tg\frac{\angle C}{2}}
.
Решение. Необходимость. Пусть трапеция ABCD
описанная, а I
— центр вписанной в неё окружности. Тогда AI
, BI
, CI
и DI
— биссектрисы углов при вершинах трапеции. Пусть \angle A=2\alpha
, \angle C=2\gamma
, M
и N
— точки касания вписанной окружности с основаниями BC
и AD
соответственно, а радиус окружности равен r
. Тогда
\angle IAN=\angle IAB=\alpha,~\angle IDN=\angle IDC=90^{\circ}-\gamma,
AN=IM\ctg\angle IAM=r\ctg\alpha,~DN=IM\ctg\angle IDN=r\tg\gamma.
Аналогично,
CM=r\ctg\gamma,~BM=r\tg\alpha.
Значит,
AD=AN+DN=r(\ctg\alpha+\tg\gamma),~BC=BM+CM=r(\tg\alpha+\ctg\gamma).
Следовательно,
\frac{BC}{AD}=\frac{\tg\alpha+\ctg\gamma}{\ctg\alpha+\tg\gamma}=\frac{\tg\alpha+\frac{1}{\tg\gamma}}{\frac{1}{\tg\alpha}+\tg\gamma}=\frac{(1+{\tg\alpha\tg\gamma})\tg\alpha}{(1+{\tg\alpha\tg\gamma})\tg\gamma}=\frac{\tg\alpha}{\tg\gamma}.
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть \angle A=2\alpha
, \angle C=2\gamma
и \frac{BC}{AD}=\frac{\tg\alpha}{\tg\gamma}
, а биссектрисы углов при вершинах A
и B
пересекаются в точке I
.
Построим окружность с центром I
, касающуюся сторон AB
, BC
и AD
. Предположим, что она не касается стороны CD
. Проведём к этой окружности касательную, параллельную CD
и пересекающую прямые B
и AD
а точках C_{1}
и D_{1}
соответственно. Тогда ABC_{1}D_{1}
— описанная трапеция, а \angle BC_{1}D_{1}=\angle BCD=2\gamma
. Значит, для неё по доказанному выше
\frac{BC_{1}}{AD_{1}}=\frac{\tg\alpha}{\tg\gamma}=\frac{BC}{AD}.
Тогда по свойству пропорций, учитывая, что CDD_{1}C_{1}
— параллелограмм, получим, что
\frac{\tg\alpha}{\tg\gamma}=\frac{BC-BC_{1}}{AD-AD_{1}}=\frac{CC_{1}}{DD_{1}}=1,
откуда \tg\alpha=\tg\gamma
. Поскольку \alpha
и \gamma
меньше 90^{\circ}
, получим \alpha=\gamma
. Значит, ABCD
— параллелограмм, а не трапеция. Следовательно, прямая CD
касается окружности, и поэтому трапеция ABCD
описанная. Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 7.22, с. 59