1174. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное?
Ответ. Верно.
Указание. Воспользуйтесь свойствами и признаками параллельности прямых.
Решение. Пусть D
— точка на продолжении стороны AB
за вершину A
, а K
— точка на биссектрисе угла DAC
(внешнего угла треугольника ABC
). Обозначим \angle B=\angle C=\alpha
. Тогда
\angle DAC=\angle B+\angle C=2\alpha,~\angle CAK=\frac{1}{2}\angle DAC=\alpha=\angle C.
Следовательно, AK\parallel BC
.
Пусть теперь AK\parallel BC
. Докажем, что \angle B=\angle C
. Действительно,
\angle B=\angle ABC=\angle DAK=\angle CAK=\angle ACB=\angle C.