11740. Точка K
расположена на основании AC
равнобедренного треугольника ABC
, причём AK=20
, KC=14
. Точки L
и M
симметричны точке K
относительно боковых сторон треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку LM
пересекает прямую AC
в точке P
. Найдите PK
.
Ответ. 6.
Решение. Первый способ. Отметим на основании AC
точку Q
, для которой AQ=KC=14
. Пусть L
— точка, симметричная точке K
относительно прямой AB
. Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\varphi
. Тогда
AK=AL~\mbox{и}~\angle BAC=\angle BAL=\varphi.
Аналогично, для точки M
имеем
CK=CM~\mbox{и}~\angle BCA=\angle BCM=\varphi.
Треугольники LAQ
и QCM
равны по двум сторонам и углу между ними, так как
AL=AK=CQ,~AQ=CK=CM,~\angle LAQ=\angle QCM=2\varphi.
Значит, LQ=QM
, поэтому точка Q
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку LM
, т. е. совпадает с точкой P
. Следовательно,
PK=QK=AK-AQ=AK-KC=20-14=6.
Второй способ. Точка B
равноудалена от точек K
, L
, M
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку LM
. Обозначим
\angle ABL=\angle ABK=\alpha,~\angle CBM=\angle CBK=\beta.
Тогда
\angle ABP=\angle LBP-\angle ABL=(\alpha+\beta)-\alpha=\beta.
Значит, точка P
симметрична точке K
относительно середины отрезка AC
, поэтому
PK=AK-AP=20-14=6.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 257, с. 36