11745. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Известно, что AB=BC=CD
и \angle AOD=120^{\circ}
. Докажите, что AO=DO
.
Решение. Первый способ. Опустим перпендикуляры AK
и DL
на прямые DB
и AC
соответственно. Пусть \angle BAC=\angle BCA=\alpha
, тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BDC=\angle CBD=\angle CBO=60^{\circ}-\alpha.
Без ограничения общности можно считать, что \alpha\leqslant30^{\circ}
. В этом случае точки K
и L
расположены так, как показано на рисунке.
В прямоугольных треугольниках AKB
и DLC
равны гипотенузы AB
и DC
, а также
\angle KAB=(90^{\circ}-60^{\circ})-\alpha=30^{\circ}-\alpha,
\angle LDC=\angle BDC-\angle ODL=(60^{\circ}-\alpha)-30^{\circ}=30^{\circ}-\alpha
поэтому эти треугольники равны, и значит, AK=DL
. Тогда треугольники AKO
и DLO
также равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, AO=DO
.
Второй способ. Отметим на прямой AC
такую точку E
, что треугольник BOE
равносторонний. Треугольники ABE
и CBO
симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC
, поэтому они равны. Таким образом,
AO=AE+EO=CO+BO.
Аналогично, DO=BO+CO
. Следовательно, AO=DO
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2014, XX, № 7
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 1, с. 31
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 262, с. 36