11746. Биссектрисы треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Прямая, проходящая через точку I
параллельно стороне BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
. Найдите периметр треугольника AMN
, если AB=2
, AC=1
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть точка M
лежит на стороне AB
. Из равенства углов MBI
, CBI
и MIB
следует, что треугольник BMI
равнобедренный, MB=MI
. Аналогично NC=NI
. Значит,
AM+AN+MN=AM+AN+(MI+IN)=(AM+MI)+(AN+IN)=
=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=3.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 263, с. 36