11753. На боковых сторонах AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
отмечены соответственно точки E
и F
так, что AE=2BF
. Точка G
симметрична точке E
относительно точки F
. Докажите, что угол ACG
прямой.
Решение. Пусть точка D
симметрична точке B
относительно точки F
. Тогда треугольники BEF
и DGF
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, треугольник CDG
равнобедренный, так как
DC=BC-BD=AB-AE=BE=DG.
Следовательно,
\angle ACG=\angle ACB+\angle DCG=\angle ACB+\frac{1}{2}\angle FDG=\angle ACB+\frac{1}{2}B=90^{\circ}.