11756. Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Среди их углов ровно три различных. Каким может быть наибольший из этих углов?
Ответ. 90^{\circ}
, 108^{\circ}
или 120^{\circ}
.
Решение. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то наибольший угол равен 90^{\circ}
. Примером служит любой ромб, не являющийся квадратом.
Если при пересечении диагоналей образуется острый угол \alpha
, то наибольшим будет угол 180^{\circ}-\alpha
, так как в треугольнике с углом \alpha
большего угла быть не может.
В треугольнике с углом 180^{\circ}-\alpha
не может быть ни угла \alpha
(так как в противном случае сумма двух его углов равна 180^{\circ}
), ни угла 180^{\circ}-\alpha
(так как в треугольнике не может быть двух тупых углов), поэтому оба его остальных угла равны \frac{\alpha}{2}
(различными они быть не могут, так как во-первых, ни один из их не может быть равен \alpha
, во-вторых, в этом случае среди углов четырёх треугольников будет более трёх различных).
В треугольнике с углом \alpha
остальные два угла могут быть равны либо \frac{\alpha}{2}
и \alpha
, либо \alpha
и \alpha
. В первом случае \alpha=72^{\circ}
(тогда \alpha-180^{\circ}=108^{\circ}
), во втором — \alpha=60^{\circ}
(тогда \alpha-180^{\circ}=120^{\circ}
).
Примеры: трапеция, отсекаемая диагональю от правильного пятиугольника, и прямоугольник с отношением сторон 1:\sqrt{3}
.