11757. К окружности с центром O
проведена касательная в точке A
. На касательной выбрана точка B
, а на окружности — точка C
так, что AB=AC
и точка O
лежит на отрезке BC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 120^{\circ}
, 30^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Решение. Треугольники ABC
и OAC
равнобедренные. Пусть
\angle ABC=\angle ACB=\angle CAO=\alpha.
Тогда из треугольника ABC
получаем, что
\alpha+\alpha+(90^{\circ}+\alpha)=180^{\circ},
откуда \alpha=30^{\circ}
. Следовательно, углы треугольника ABC
равны 30^{\circ}
, 30^{\circ}
и 120^{\circ}
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 274, с. 38