11758. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника ABC
в точке A
, пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB
в точке A'
, а касательная, проведённая к той же окружности в точке C
, пересекает серединный перпендикуляр к стороне CB
в точке C'
. Докажите, что прямая A'C'
касается описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Проведите касательную в точке B
.
Решение. Проведём через точку B
касательную к окружности. Пусть она пересекает касательные, проведённые в точках A
и C
, в точках A''
и C''
соответственно. Тогда A''B=A''A
, поэтому точка A''
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
, а значит, совпадает с A'
. Аналогично, точка C''
совпадает с C'
. Отсюда следует утверждение задачи.