11759. Прямая, проходящая через вершину B
остроугольного треугольника ABC
перпендикулярно BC
, пересекает прямую AC
в точке A_{1}
. Прямая, проходящая через вершину B
перпендикулярно AB
, пересекает прямую AC
в точке C_{1}
. Точки O_{a}
и O_{c}
— центры описанных окружностей треугольников ABA_{1}
и CBC_{1}
соответственно. Докажите, что точки O_{a}
, O_{c}
и B
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Рассмотрим описанную окружность треугольника ABA_{1}
. Вписанный в неё угол BA_{1}A
— это острый угол прямоугольного треугольника A_{1}BC
, поэтому
\angle BA_{1}A=\angle BA_{1}C=90^{\circ}-\gamma,
а так как AO_{a}B
— соответствующий центральный угол, то
\angle BO_{a}A=2\angle BA_{1}A=180^{\circ}-2\gamma.
Поскольку ABO_{a}
— угол при основании равнобедренного треугольника BO_{a}A
, то
\angle ABO_{a}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(180^{\circ}-2\gamma))=\gamma.
Аналогично \angle CBO_{c}=\alpha
. Значит, поэтому
\angle ABO_{a}+\angle ABC+\angle CBO_{c}=\gamma+\beta+\alpha=180^{\circ}.
Следовательно, точки O_{a}
, O_{c}
и B
лежат на одной прямой.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 276, с. 38