11762. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC
точка L
— середина гипотенузы BC
, точка K
— середина катета AC
. На отрезке KL
отметили точку P
, а на отрезке BL
— точку Q
так, что AP=PQ
. Найдите угол APQ
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Прямая KL
— серединный перпендикуляр к катету AC
, поэтому PC=PA=PQ
. Значит, точка P
— центр описанной окружности треугольника ACQ
. Следовательно,
\angle APQ=2\angle ACQ=2\angle ACB=2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 280, с. 38