11763. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=AC
) угол A
равен 30^{\circ}
. На медиане, проведённой из вершины A
, взята точка P
, а на стороне AB
— точка Q
так, что PB=PQ
. Найдите угол PQC
.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Пусть AM
— медиана треугольника ABC
. Поскольку этот треугольник равнобедренный, прямая AM
— серединный перпендикуляр к основанию BC
. Значит, PC=PB=PQ
, т. е. точка P
— центр описанной окружности треугольника QBC
, поэтому центральный угол QPC
вдвое больше вписанного угла QBC
, т. е.
\angle QPC=2\angle QBC=2\cdot75^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно, в равнобедренном треугольнике QPC
угол при основании равен 15^{\circ}
.