11764. На вписанной окружности равностороннего треугольника ABC
выбрана точка M
так, что середина отрезка AM
также лежит на этой окружности. Найдите угол BMC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами BC
, CA
, AB
соответственно, N
— середина AM
. Тогда C_{1}N\parallel BM
и B_{1}N\parallel CM
как средние линии треугольников ABM
и ACM
. Следовательно,
\angle BMC=\angle C_{1}NB_{1}=180^{\circ}-\angle C_{1}A_{1}B_{1}=120^{\circ}.